Question

8．試比較3ⁿ與（n+1）²（n∈N^*）的大小，并證明．

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，可得3¹＜（1+1）²；當(dāng)n=2時(shí)，3²=（2+1）²；當(dāng)n≥3時(shí)，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，3¹=3，（1+1）²=4，∴3¹＜（1+1）²；
當(dāng)n=2時(shí)，3²=9，（2+1）²=9，∴3²=（2+1）²；
當(dāng)n≥3時(shí)，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=3時(shí)，左邊=3³=27，右邊=（3+1）²=16，∴左邊＞右邊．
假設(shè)當(dāng)n=k≥3時(shí)成立，即3^k＞（k+1）²．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=3^k+1=3•3^k＞3（k+1）²，
而3（k+1）²-（k+1+1）²=2k²+2k-1＞0，
∴3^k+1＞（k+2）²，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，3ⁿ＞（n+1）²（n∈N^*）．
綜上可得：對(duì)于?n∈N^*，3ⁿ＞（n+1）²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．