Question

7．解下列方程：
（1）$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$；
（3）x²-8[x]+7=0；
（4）[x]+[2x]=18．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0，化為[x]=x，即可解出；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，化為[3x]+1=2x-$\frac{1}{2}$，[3x]=2x-$\frac{3}{2}$≤3x，解得x≥$-\frac{3}{2}$．記[3x]=2x-$\frac{3}{2}$（*）．分類討論：當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x＜-$\frac{4}{3}$時；當(dāng)-$\frac{4}{3}$≤x＜-1時；當(dāng)-1≤x＜-$\frac{2}{3}$時，當(dāng)-$\frac{2}{3}$≤x＜-$\frac{1}{3}$時，當(dāng)$-\frac{1}{3}$≤x＜0時，當(dāng)x∈$[\frac{n}{3}，\frac{n+1}{3}）$時（n∈N），即可得出；
（3）x²-8[x]+7=0化為x²+7=8[x]≤8x，解得1≤x≤7．化為[x]=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，分類討論：當(dāng)x∈[1，2）時，當(dāng)x∈[3，4）時，…，當(dāng)x∈[6，7）時，當(dāng)x=7時，解出即可．
（4）由于2[x]≤[2x]≤2[x]+1，可得$\frac{17}{3}$≤[x]≤6，解出并驗證即可得出．

解答 解：（1）$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0，∴[x]=x，∴x=n∈N^*；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，化為[3x]+1=2x-$\frac{1}{2}$，∴[3x]=2x-$\frac{3}{2}$≤3x，解得x≥$-\frac{3}{2}$．
記[3x]=2x-$\frac{3}{2}$（*）．
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x＜-$\frac{4}{3}$時，（*）化為：-5=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{7}{4}$，不滿足條件，舍去；
當(dāng)-$\frac{4}{3}$≤x＜-1時，（*）化為：-4=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{5}{4}$，滿足條件，因此x=-$\frac{5}{4}$為方程的一個解；
當(dāng)-1≤x＜-$\frac{2}{3}$時，（*）化為：-3=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，滿足條件，因此x=-$\frac{3}{4}$為方程的一個解；
當(dāng)-$\frac{2}{3}$≤x＜-$\frac{1}{3}$時，（*）化為：-2=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{1}{4}$，舍去；
當(dāng)$-\frac{1}{3}$≤x＜0時，（*）化為：-1=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{1}{4}$，舍去；
當(dāng)x∈$[\frac{n}{3}，\frac{n+1}{3}）$時（n∈N），（*）左邊=n，右邊＜$\frac{4n-5}{6}$，而$\frac{4n-5}{6}$＜n，因此無解．
綜上可得：原方程的解為：x=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$．
（3）x²-8[x]+7=0化為x²+7=8[x]≤8x，解得1≤x≤7．
化為[x]=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$
當(dāng)x∈[1，2）時，左邊=1，右邊≥1，此時有一解，x=1；當(dāng)x∈[2，3）時，左邊=2，右邊＜2，此時無解；
當(dāng)x∈[3，4）時，左邊=3，右邊＜3，此時無解；當(dāng)x∈[4，5）時，左邊=4，右邊＜4，此時無解；
當(dāng)x∈[5，6）時，左邊=5，右邊∈$[4，\frac{43}{8}）$，此時5=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，（x＞0），解得x=$\sqrt{33}$，因此有一解$\sqrt{33}$；
當(dāng)x∈[6，7）時，左邊=6，右邊∈$[\frac{43}{8}，7）$，此時6=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，（x＞0），解得x=$\sqrt{41}$，因此有一解$\sqrt{41}$；
當(dāng)x=7時，左邊=7，右邊=7，因此有一解7．
綜上可得：x=1，$\sqrt{33}$，$\sqrt{41}$，7．
（4）∵2[x]≤[2x]≤2[x]+1，
∴3[x]≤[x]+[2x]≤3[x]+1，
∵[x]+[2x]=18，
∴$\frac{17}{3}$≤[x]≤6，
∴6≤x＜7，經(jīng)過驗證6.5≤x＜7時不成立，
∴6≤x＜6.5．

點評 本題考查了[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用、解方程，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．