Question

18．已知函數(shù)f（x）=1+2^x，g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3．
（1）求函數(shù)g（x）的值域；
（2）求滿足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

Answer 1

分析 （1）由|x|≥0可得2^|x|≥1，從而求得函數(shù)g（x）的值域；
（2）把函數(shù)解析式代入f（x）-g（x）=0，然后對(duì)x分類求解得答案．

解答 解：（1）由g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3，
∵|x|≥0，∴2^|x|≥1，
∴$0＜\frac{1}{{2}^{|x|}}≤1$，則g（x）=$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$+3的值域?yàn)椋?，4]；
（2）由f（x）-g（x）=0，得
1+2^x-$\frac{1}{{2}^{\left|x\right|}}$-3=0，即${2}^{x}-2=\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
當(dāng)x≥0時(shí)，方程化為（2^x）²-2•2^x-1=0，解得${2}^{x}=\sqrt{2}+1$，∴x=$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$；
當(dāng)x＜0時(shí)，方程化為2^x-2=2^x，此式顯然無(wú)解．
綜上，滿足方程f（x）-g（x）=0的x的值為$lo{g}_{2}（\sqrt{2}+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，考查了指數(shù)方程的解法，是基礎(chǔ)題．