Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4sin²θ-3sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，-λ），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則λ的取值范圍是$[-\frac{9}{16}，7]$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，化為λ=$4（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$-$\frac{9}{16}$．利用sinθ∈[-1，1]及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4sin²θ-3sinθ-λ=0，
∴λ=$4（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$-$\frac{9}{16}$．
∵sinθ∈[-1，1]，
∴$（sinθ-\frac{3}{8}）^{2}$∈$[0，\frac{121}{64}]$．
∴λ∈$[-\frac{9}{16}，7]$．
故答案為：$[-\frac{9}{16}，7]$．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．