Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，過右焦點F作直線交該雙曲線于A、B兩點，P為x軸上一點，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，則|FP|=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 設(shè)弦AB的中點為（m，n），雙曲線的右焦點為（c，0），右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，直線AB的方程為y=k（x-c），代入雙曲線的方程，消去y，運用兩根之和，運用雙曲線的第二定義可得|AB|，以及P的坐標(biāo)，計算即可得到．

解答 解：設(shè)弦AB的中點為（m，n），雙曲線的右焦點為（c，0），右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由e=2，即c=2a，b=$\sqrt{3}$a．
直線AB的方程為y=k（x-c），代入雙曲線的方程，
可得（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
即為（3a²-a²k²）x²+4a³k²x-4a⁴k²-3a⁴=0，
x₁+x₂=$\frac{4a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$．
則由雙曲線的第二定義可得|AB|=|AF+|BF|=2（x₁-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+2（x₂-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（x₁+x₂）-2a=8，
即有2•$\frac{4a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=8+2a，即$\frac{6a{k}^{2}+6a}{{k}^{2}-3}$=8，①
則m=$\frac{2a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，n=k（m-2a）=$\frac{6ak}{{k}^{2}-3}$，
弦AB的中垂線方程為y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），
可得P（$\frac{8a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，0），
則|PF|=|$\frac{8a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$-2a|=|$\frac{6a{k}^{2}+6a}{{k}^{2}-3}$|，
由①可得，|PF|=8．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的第二定義和離心率的運用，同時注意直線的垂直平分線方程的求法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．