Question

在圓柱OO₁中，ABCD是其軸截面，EF⊥CD于O₁（如圖所示），若AB=2，BC=

2

．

（Ⅰ）設(shè)平面BEF與⊙O所在平面的交線為l，平面ABE與⊙O₁所在平面的交線為m，證明：l⊥m；
（Ⅱ）將△AEC繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的體積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由于圓柱的兩底面互相平行，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理可得l∥EF，m∥AB，進(jìn)而由EF⊥CD得到結(jié)論；
（II）依題意，所的幾何體是一個大圓錐挖去一個小圓錐，分別求出兩個圓錐的體積，相減可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）由于圓柱的兩底面互相平行，AB?⊙O所在平面
∴AB∥⊙O₁所在平面，
同理EF∥⊙O所在平面．…（2分）
又平面BEF與⊙O所在平面的交線為l，
∴l(xiāng)∥EF，
同理由平面ABE與⊙O₁所在平面的交線為m可得：m∥AB．…（4分）
又∵EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）依題意，所的幾何體是一個大圓錐挖去一個小圓錐，…（8分）
∵AB=2，BC=

2

．
∴兩個圓錐的底面半徑分別為DE=

2

，DC=2，
高均為AD=

2

．…（10分）
所以其體積V=

1

3

π(4-2)×

2

=

2 2

3

π．…（12分）

點評：本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的體積公式，空間直線垂直，是立體幾何知識的簡單綜合應(yīng)用．