Question

4．中心為原點，一個焦點為$F（0，5\sqrt{2}）$的橢圓截直線y=3x-2所得的弦的中點的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，則橢圓的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{75}=1$
• B． $\frac{x^2}{75}+\frac{y^2}{25}=1$
• C． $\frac{{2{x^2}}}{75}+\frac{{2{y^2}}}{25}=1$
• D． $\frac{{2{x^2}}}{25}+\frac{{2{y^2}}}{75}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)焦點坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=5$\sqrt{2}$，即為a²-b²=50，①
將直線y=3x+2代入橢圓方程，可得
（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
由弦的中點的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
設(shè)弦的兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$，
由中點坐標(biāo)公式可得，$\frac{12^{2}}{{a}^{2}+9^{2}}$=1，
即有a²=3b²②
聯(lián)立①②可得，a²=75，b²=25
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{75}$=1．
故選：A．

點評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．主要涉及韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式等．