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12.給出下列命題:
①點P是△ABC所在平面外一點,PO⊥平面ABC于點O,若PA=PB=PC,則O是△ABC的外心;
②兩條直線和一個平面成等角,則這兩條直線平行;
③三個平面兩兩相交,則三條交線一定交于一點;
④三個平面最多將空間分成8部分;
⑤正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AC與BC1所成角為60°.
其中正確的命題有①④⑤.(填序號)

分析 在①中,由射影定理得OA=OB=OC,從而O是△ABC的外心;在②中,這兩條直線平行、相交或異面;在③中,三條交線交于一點或三條交線重合;在④中,一切豆腐切三刀,最多切8塊;在⑤中,由△A1C1B是等邊三角形,得直線AC與BC1所成角為60°.

解答 解:①點P是△ABC所在平面外一點,
∵PO⊥平面ABC于點O,PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,故①正確;
②兩條直線和一個平面成等角,則這兩條直線平行、相交或異面,故②錯誤;
③三個平面兩兩相交,則三條交線交于一點或三條交線重合,故③錯誤;
④一切豆腐切三刀,最多切8塊,∴三個平面最多將空間分成8部分,故④正確;
⑤正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AC與BC1所成角為∠A1C1B,
∵△A1C1B是等邊三角形,∴∠A1C1B=60°.
∴直線AC與BC1所成角為60°,故⑤正確.
故答案為:①④⑤.

點評 本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用.

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