Question

12．給出下列命題：
①點P是△ABC所在平面外一點，PO⊥平面ABC于點O，若PA=PB=PC，則O是△ABC的外心；
②兩條直線和一個平面成等角，則這兩條直線平行；
③三個平面兩兩相交，則三條交線一定交于一點；
④三個平面最多將空間分成8部分；
⑤正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AC與BC₁所成角為60°．
其中正確的命題有①④⑤．（填序號）

Answer 1

分析 在①中，由射影定理得OA=OB=OC，從而O是△ABC的外心；在②中，這兩條直線平行、相交或異面；在③中，三條交線交于一點或三條交線重合；在④中，一切豆腐切三刀，最多切8塊；在⑤中，由△A₁C₁B是等邊三角形，得直線AC與BC₁所成角為60°．

解答 解：①點P是△ABC所在平面外一點，
∵PO⊥平面ABC于點O，PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心，故①正確；
②兩條直線和一個平面成等角，則這兩條直線平行、相交或異面，故②錯誤；
③三個平面兩兩相交，則三條交線交于一點或三條交線重合，故③錯誤；
④一切豆腐切三刀，最多切8塊，∴三個平面最多將空間分成8部分，故④正確；
⑤正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AC與BC₁所成角為∠A₁C₁B，
∵△A₁C₁B是等邊三角形，∴∠A₁C₁B=60°．
∴直線AC與BC₁所成角為60°，故⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．