Question

12．已知菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=120°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個頂點(diǎn)的距離大于1的概率$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$．

Answer 1

分析 以菱形ABCD的各個頂點(diǎn)為圓心、半徑為1作圓如圖所示，可得當(dāng)該點(diǎn)位于圖中陰影部分區(qū)域時，它到四個頂點(diǎn)的距離均大于1．因此算出菱形ABCD的面積和陰影部分區(qū)域的面積，利用幾何概型計(jì)算公式加以計(jì)算，即可得到所求的概率．

解答 解：分別以菱形ABCD的各個頂點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，如圖所示．
在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P位于四個圓的外部時，
滿足點(diǎn)P到四個頂點(diǎn)的距離均大于1，即圖中的陰影部分區(qū)域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin120°=4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_菱形ABCD-S_空白=8$\sqrt{3}$-π×1²=8$\sqrt{3}$-π．
因此，該點(diǎn)到四個頂點(diǎn)的距離大于1的概率P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{菱形}}$=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$，
故答案為：$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$．

點(diǎn)評 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)對應(yīng)分別求出對應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．