Question

1．如圖，在四面體P-ABC中，底面ABC是邊長為1的正三角形，PB=PC=$\sqrt{2}$，AB⊥BP．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC
（Ⅱ）求點P到底面ABC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點M，連結(jié)AM，PM，依題意可知AM⊥BC，PM⊥BC，從而BC⊥平面PAM，由此能證明PA⊥BC；
（Ⅱ）過P作PH⊥AM，連接BH，證明PH⊥平面ABC，求出BH，即可求點P到底面ABC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取BC中點M，連結(jié)AM，PM，
依題意底面ABC是邊長為1的正三角形，PB=PC=$\sqrt{2}$，
所以AM⊥BC，PM⊥BC，
又AM∩PM=M，
所以BC⊥平面PAM，
又PA?平面PAM，
所以PA⊥BC；
（Ⅱ）解：因為BC⊥平面PAM，BC?平面ABC
所以平面ABC⊥平面PAM，
過P作PH⊥AM，連接BH，
所以PH⊥平面ABC，
所以PH⊥AB，
因為AB⊥PB，PH∩PB=P，
所以AB⊥平面PBH，
所以AB⊥BH．
在Rt△ABH中，∠BAH=30°，所以BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PBH中，PB=$\sqrt{2}$，所以PH=$\sqrt{2-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
所以點P到底面ABC的距離為$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，正確作出點P到底面ABC的距離是解題的關(guān)鍵．