Question

17．f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，則b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的定義域，要使原函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則其導函數(shù)在定義域內(nèi)恒小于等于0，原函數(shù)的導函數(shù)的分母恒大于0，
只需分析分子的二次三項式恒大于等于0即可，根據(jù)二次項系數(shù)大于0，且對稱軸在定義域范圍內(nèi)，所以二次三項式對應的拋物線開口向上，只有其對應二次方程的判別式小于等于0時導函數(shù)恒小于等于0，由此解得b的取值范圍．

解答 解：由x+2＞0，得x＞-2，所以函數(shù)f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）的定義域為（-2，+∞），
再由f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+bln（x+2），得：$f'（x）=-x+\frac{x+2}=\frac{-{x}^{2}-2x+b}{x+2}$
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因為x+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，則g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函數(shù)g（x）開口向上，且對稱軸為x=-1，
所以只有當△=2²+4×b≤0，即b≤-1時，g（x）≥0恒成立．
所以，使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)的b的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：D

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系，一個函數(shù)在其定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)減，說明函數(shù)的導函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)恒小于等于0．此題是中檔題．