Question

14．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且F₁是線段QF₂的中點(diǎn)，若過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)，且|MG|＞|MH|．若實(shí)數(shù)λ滿足$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{MH}$，求λ+$\frac{1}{λ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c=a，再由該圓與直線l相切，求出c，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)其方程為y=kx+2，代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出$λ+\frac{1}{λ}$的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0）
由F₁為線段F₂Q中點(diǎn)，AQ⊥AF₂
所以A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c=a
又因?yàn)樵搱A與直線l相切，所以$\frac{{|{-c-3}|}}{2}=2c∴c=1$，
所以a²=4，b²=3，故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）若l₁與x軸不垂直，可設(shè)其方程為y=kx+2，代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
可得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由△＞0，得${k^2}＞\frac{1}{4}$
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），根據(jù)已知，有x₁=λx₂
于是$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=（{1+λ}）{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=λ{(lán)x^2}=\frac{1}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$
消去x₂，可得$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}=\frac{{64{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$
因?yàn)?{k^2}＞\frac{1}{4}$，所以$\frac{{64{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{64}{{4+\frac{3}{k^2}}}∈（{4，16}）$
即有$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}=λ+\frac{1}{λ}+2∈（{4，16}）$，有$λ+\frac{1}{λ}∈（{2，14}）$
若l₁垂直于x軸，此時(shí)$λ=\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}，λ+\frac{1}{λ}=14$
故$λ+\frac{1}{λ}$的取值范圍是（2，14）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．