Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+b²x+1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)存在遞減區(qū)域的概率為（　�。�

• A． $\frac{7}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意f′（x）=x²+2ax+b²＜0有解，從而a＞b，先求出基本事件總數(shù)n=3×3=9，再利用列舉法求出a＞b包含的基本事件個數(shù)，由此能求出該函數(shù)存在遞減區(qū)域的概率．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+b²x+1，
∴f′（x）=x²+2ax+b²，
∵該函數(shù)存在遞減區(qū)域，
∴f′（x）=x²+2ax+b²＜0有解，
∴△=4a²-4b²＞0，
∴a＞b，
∵a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，
∴基本事件總數(shù)n=3×3=9，
∵a＞b，
∴a=1時，b=0，
a=2時，b=0或b=1，
a=3時，b=0或b=1或b=2，
∴該函數(shù)存在遞減區(qū)域的概率p=$\frac{1+2+3}{3×3}$=$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導致數(shù)性質及列舉法的合理運用．