Question

9．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，且對于任意的正整數(shù)n≥2，$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}+1}$=1，設數(shù)列{b_n}滿足b_n=a${\;}_{n}^{2}$sin$\frac{nπ}{2}$，其前4n項和為T_4n，則滿足T_4n≤-36的最小正整數(shù)n的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先由遞推公式得到數(shù)列{a_n}是以2為首項嗎，以1為公差的等差數(shù)列，再求出b_n，分別計算前4項和，5-8項和，9-12項和，找到規(guī)律得到T_4n遞減，當n=2時，滿足，問題得以解決．

解答 解：由題意可得，當n=2時，$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+1}$=1，
∴$\frac{2}{{a}_{2}}+\frac{2}{{a}_{2}+2+1}$=1，
即a₂²-a₂-6=0，
解得a₂=3或a₂=-2（舍去），
當n≥2，$\frac{2}{{a}_{n}}$+$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}+1}$=1，
∴2（S_n+1）+S_n-1•a_n=a_n（S_n+1），
∴2（S_n+1）+（S_n-a_n）a_n=a_n（S_n+1），
∴2S_n+2=a_n²+a_n，
當n≥3時，2S_n-1+2=a_n-1²+a_n-1，
兩式相減得2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵正項數(shù)列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=1，（n≥3），
∵a₂-a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項嗎，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=（n+1）²sin$\frac{nπ}{2}$，
∴當n=1時，sin$\frac{π}{2}$=1，n=2時，sinπ=0，n=3時，sin$\frac{3π}{2}$=-1，n=4時，sin2π=0，
∴b₁+b₂+b₃+b₄=4+0-16+0=-12，
b₅+b₆+b₇+b₈=36+0-64+0=-28，
b₉+b₁₀+b₁₁+b₁₂=10²+0-12²+0=-44，
…
b_4n-3+b_4n-2+b_4n-1+b_n=（4n-2）²-（4n）²=-2（8n-2）=4-16n＜0，
∴T_4n遞減，
當n=2時，滿足，
故選：B

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式三角函數(shù)的特殊值，關鍵是轉化，運算，屬于中檔題．