Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂、A為上頂點(diǎn)，AF₁交橢圓E于另一點(diǎn)B，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過(guò)D（1，0）作橢圓E的兩條互相垂直的弦，M，N分別為兩弦的中點(diǎn)，求證：直線MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8⇒a=2，再由離心率e=

2

2

，求出c，可得b，從而可以求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題設(shè)條件可知M，N的坐標(biāo)，從而可得直線MN的方程，由此可推導(dǎo)出直線MN過(guò)定點(diǎn)．

解答： 解：（1）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
∵離心率e=

2

2

，∴c=

2

，
∴b=

2

∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)以M為中點(diǎn)的弦x=my+1與橢圓交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
x=my+1代入

x2

4

+

y2

2

=1可得（m²+2）y²+2my-3=0，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=

4

m2+2

∴M（

2

m2+2

，-

m

m2+2

），
同理N（

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

），
∴k_MN=

3m

2(m2-1)

，MN：y+

m

m2+2

=

3m

2(m2-1)

（x-

2

m2+2

），
整理得y=

3m

2(m2-1)

（x-

2

3

），
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（

2

3

，0）．
當(dāng)直線P₁Q₁的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，P₁Q₁、P₂Q₂的中點(diǎn)為點(diǎn)D及原點(diǎn)O，直線MN為x軸，也過(guò)此定點(diǎn)，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．