Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3mx²+nx+5m，在x=-1處有極值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x²+6mx+n，得方程組

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+5m=0

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+6mx+n
∴

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+5m=0

，
解得：m=-1，n=-9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，f’（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞3 或 x＜-1 時(shí)，f’（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=-1處有極值，
∴f（x）的減區(qū)間是（-1，3）；增區(qū)間是（-∞，-1），（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．