Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求這個函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+lnx，
（1）當(dāng)x=1時，f（1）=0，f′（1）=1+ln1=1
所以，切線過點(diǎn)（1，0），斜率為1，
故切線的方程為y=x-1；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
令f′（x）＞0，即1+lnx＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$．
所以，函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）．
令f′（x）＜0，即1+lnx＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$．
所以，函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，正確求導(dǎo)和運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．