Question

2．設(shè)p＞0，拋物線方程為C：x²=2px．如圖所示，過焦點(diǎn)F作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）．
（1）求滿足條件的拋物線方程；
（2）過點(diǎn)（0，-2）作拋物線C的切線，若切點(diǎn)在第二象限，求切線m的方程．

Answer 1

分析 （1）求出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（p，$\frac{p}{2}$），推出切線的斜率，得到過點(diǎn)G的切線方程，然后求出p，即可求出拋物線的方程．
（2）設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）拋物線在Q點(diǎn)處的切線斜率為$\frac{{x}_{0}}{2}$，求出切線方程，點(diǎn)（0，-2）在切線上，求解Q，然后得到所求切線方程．

解答 解：（1）由x²=2px得y=$\frac{1}{2p}$x²，
當(dāng)y=$\frac{p}{2}$得x=±p，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（p，$\frac{p}{2}$），…（2分）
y′=$\frac{1}{p}x$，y′|_x=p=1，
過點(diǎn)G的切線方程為y-$\frac{p}{2}$=x-p即y=x-$\frac{p}{2}$，…（5分）
令x=0得y=-$\frac{p}{2}$，
∴$-\frac{p}{2}=-1$即p=2，即拋物線的方程為x²=4x…（7分）
（2）設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）．（x₀＜0），由y′=$\frac{x}{2}$，知拋物線在Q點(diǎn)處的切線斜率為$\frac{{x}_{0}}{2}$，…（9分）
∴所求切線方程y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₀），
即y=$\frac{{x}_{0}}{2}x-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$．…（11分）
∵點(diǎn)（0，-2）在切線上，
∴-2=-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
∴x₀=2$\sqrt{2}$（舍去）或x₀=-2$\sqrt{2}$． …（13分）
∴所求切線方程為y=-$\sqrt{2}x-2$． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線方程的綜合應(yīng)用，曲線的切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．