Question

2．已知函數f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$為奇函數，a為實常數．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在（1，+∞）上單調增；
（3）試問：是否存在實數m，使得不等式f（x+t）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m對任意t＞0及x∈[3，4]恒成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的定義求出a的值即可；（2）根據復合函數“同增異減”的性質判斷函數的單調性即可；（3）構造新函數求出新函數的單調性，得到函數的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 （1）∵f（x）是奇函數，∴定義域關于原點對稱，
由 $\frac{1-ax}{x-1}$＞0，得（x-1）（1-ax）＞0，
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}$=-1，解得a=-1．
（2）令u（x）=$\frac{1+x}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，
設任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
則u（x₁）-u（x₂）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+$\frac{2}{x-1}$（x＞1）是減函數，
又y=${log}_{\frac{1}{2}}$u為減函數，
∴f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+1}{x-1}}$在（1，+∞）上為增函數．
（3）由題意知${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+t+1}{x+t-1}}$-（$\frac{1}{2}$）^x＞m，x∈[3，4]時恒成立，
令g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{x+t+1}{x+t-1}}$-（$\frac{1}{2}$）^x＞log，x∈[3，4]，
由（1）知${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+t+1}{x+t-1}$在[3，4]上為增函數，
又-（$\frac{1}{2}$）^x在[3，4]上也是增函數，
故g（x）在[3，4]上為增函數，
∴g（x）的最小值為g（3）=${log}_{\frac{1}{2}}^{\frac{t+4}{t+2}}$-（$\frac{1}{2}$）³＞${log}_{\frac{1}{2}}^{2}$-$\frac{1}{8}$=-$\frac{9}{8}$，
∴m≤-$\frac{9}{8}$，故實數m的范圍是（-∞，-$\frac{9}{8}$]．

點評 本題考查了函數的奇偶性問題，考查函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．