Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+m．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，函數(shù)f（x）的最小值為2，求函數(shù)f（x）的最大值及對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcsox+cos²x+m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+m
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+$\frac{1}{2}$，
∴最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，函數(shù)f（x）的最小值為2，求函數(shù)f（x）的最大值及對應(yīng)的x的值，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
故當sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$時，原函數(shù)取最小值2，即-$\frac{1}{2}$+m+$\frac{1}{2}$=2，∴m=2，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{2}$，
故當sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1時，f（x）取得最大值為$\frac{7}{2}$，此時，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，x=$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域，屬于基礎(chǔ)題．