【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:，當(dāng)且時(shí)，且，其中均為非零常數(shù).

（1）數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；

（2）令，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明:數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是.

【答案】（1）1（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意知，，得，再由等差數(shù)列，即可求解值；

（2）由，可得，因此，由此可知，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.

（3）先進(jìn)行充分性證明：若則數(shù)列是等比數(shù)列；再進(jìn)行必要性證明：若數(shù)列是等比數(shù)列，則.

（1）由已知，，

得，

由數(shù)列是等差數(shù)列，得，

所以，，，

得.

（2）由，可得，

且當(dāng)時(shí)，

，

所以，當(dāng)時(shí)，，

因此，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列.

故通項(xiàng)公式為

（3）是等比數(shù)列的充要條件是，

充分性證明:若，則由已知，

得，所以，是等比數(shù)列.

必要性證明:若是等比數(shù)列，由（2）知，，

，

.

當(dāng)時(shí)，.上式對(duì)也成立，

所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.

所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

所以，.

當(dāng)時(shí)，.上式對(duì)也成立，

所以，.

所以，.

即，等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立.

所以.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)其中為實(shí)數(shù).設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn).

（1）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)，處的切線互相平行，求的最小值；

（3）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)，處的切線重合，求的取值范圍.(只要求寫出答案).

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【題目】已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），則球的體積等于__________，球的表面積等于__________.

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【題目】已知直線與橢圓切于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）

A.B.2C.D.1

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【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，平面平面，四邊形和都是邊長為2的正方形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，二面角的大小為60°.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度，南方某市勞動(dòng)保障部門調(diào)查了2018年下半年該市名農(nóng)民工(其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名)的月工資，得到這名農(nóng)民工的月工資均在(百元)內(nèi)，且月工資收入在(百元)內(nèi)的人數(shù)為，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:

(1)求的值；

(2)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名，非技術(shù)工有名.

①完成如下所示列聯(lián)表

技術(shù)工

非技術(shù)工

總計(jì)

月工資不高于平均數(shù)

月工資高于平均數(shù)

總計(jì)

②則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?

參考公式及數(shù)據(jù):，其中.

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對(duì)任意的，，，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，試求四邊形的面積的最大值.

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