Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$，g（x）=ln（x+1）．
（1）求函數(shù) H₁（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）記 H₂（x）=g（x）-bx，是否存在實(shí)數(shù)b，使 H₂（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）證明：-1＜$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}}$-lnn≤$\frac{1}{2}$（n=1，2，…）．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值；
（2）先對(duì)函數(shù)H₂（x）求導(dǎo)數(shù)，然后研究該函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，求其最大值，用b表示，該最大值滿足小于零即可，解不等式組獲得b的范圍；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可先構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，使問(wèn)題獲得證明．注意在化簡(jiǎn)求和時(shí)的方法．

解答 解：（1）函數(shù)H（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
又${H}_{1}′（x）=\frac{1}{（1+x）^{2}}-\frac{1}{1+x}=\frac{-x}{（1+x）^{2}}$，令H₁′（x）=0得x=0．
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，H₁′（x）＞0，H₁（x）遞增；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，H₁′（x）＜0，H₁（x）遞減．
所以函數(shù)H₁（x）的最大值為H₁（0）=0．
（2）由已知得：${H}_{2}′（x）=\frac{1}{1+x}-b$，
①若b≥1，則x∈[0，+∞）時(shí)，H₂′（x）≤0，所以H₂（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上為減函數(shù)，
所以H₂（x）=ln（1+x）-bx＜H2（0）=0在[0，+∞）恒成立．
②若b≤0，則x∈[0，+∞）時(shí)，${H}_{2}′（x）=\frac{1}{1+x}-b＞0$，所以H₂（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上為增函數(shù)，
所以H₂（x）=ln（1+x）-bx＞H（0）=0，不能使H₂（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．
③若0＜b＜1，則由H′₂（x）=0得x=$\frac{1}-1$，
當(dāng)x∈[$0，\frac{1}-1$）時(shí)，H₂′（x）＞0，所以H₂（x）在[0，$\frac{1}-1$）上為增函數(shù)，
所以H₂（x）=ln（1+x）-bx＞H₂（0）=0，所以不能使H₂（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．
綜上所述，b的取值范圍是[1，+∞）．
（3）由以上得：$\frac{x}{1+x}＜ln（1+x）＜x（x＞0）$．
取x=$\frac{1}{n}$得：$\frac{1}{1+n}＜ln（1+\frac{1}{n}）＜\frac{1}{n}$．
令${x}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{{k}^{2}+1}-lnn$，則${x}_{1}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，${x}_{n}-{x}_{n-1}=\frac{n}{{n}^{2}+1}-ln（1+\frac{1}{n-1}）$$＜\frac{n}{{n}^{2}+1}-\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{（{n}^{2}+1）n}＜0$．
因此${x}_{n}＜{x}_{n-1}＜…{x}_{1}=\frac{1}{2}$，即$\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{{k}^{2}+1}-lnn≤\frac{1}{2}$．
又lnn=$\sum_{k=2}^{n}[lnk-ln（k-1）]+ln1=\sum_{k=1}^{n-1}ln（1+\frac{1}{k}）$，
故xn=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k}{{k}^{2}+1}$-$\sum_{i=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$）
=$\sum_{k=1}^{n-1}[\frac{k}{{k}^{2}+1}-ln（1+\frac{1}{k}）]+\frac{n}{{n}^{2}+1}$$＞\sum_{k=1}^{n-1}（\frac{k}{{k}^{2}+1}-\frac{1}{k}）=-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{（{k}^{2}+1）k}$
＞$-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{（k+1）k}$=-1+$\frac{1}{n}＞-1$．
綜上所述，不等式-1＜$\sum_{k=1}^n{\frac{k}{{{k^2}+1}}}$-lnn≤$\frac{1}{2}$（n=1，2，…）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的最值問(wèn)題，以及不等式恒成立問(wèn)題的解題思路，同時(shí)第三問(wèn)還涉及到放縮法的應(yīng)用．