Question

17．已知{a_n}是等差數(shù)列．
（1）2a₅=a₃+a₇是否成立？2a₅=a₁+a₉呢？為什么？
（2）2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1）是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？
2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么結(jié)論？

Answer 1

分析 （1）設出等差數(shù)列的首項和公差，由等差數(shù)列的通項公式求得2a₅=a₃+a₇，2a₅=a₁+a₉；
（2）由等差數(shù)列的通項公式分別求得2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1），2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）由等式的特點得到等差數(shù)列的一般性結(jié)論．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
則a₅=a₁+4d，a₃=a₁+2d，a₇=a₁+6d，a₉=a₁+8d，
∴2a₅=2a₁+8d，a₃+a₇=2a₁+8d，a₁+a₉=2a₁+8d．
則2a₅=a₃+a₇；2a₅=a₁+a₉；
（2）2a_n=2[a₁+（n-1）d]=2a₁+2（n-1）d，
a_n-1+a_n+1=a₁+（n-1-1）d+a₁+（n+1-1）d=2a₁+2（n-1）d，
∴2a_n=a_n-1+a_n+1（n＞1）成立．
由此可知，在有窮等差數(shù)列中，除首項和末項外，每一項都是它前后兩項的等差中項；
2a_n=2[a₁+（n-1）d]=2a₁+2（n-1）d，
a_n-k+a_n+k=a₁+（n-k-1）d+a₁+（n+k-1）d=2a₁+2（n-1）d，
∴2a_n=a_n-k+a_n+k（n＞k＞0）成立．
由此可知，在有窮等差數(shù)列中，除首項和末項外，每一項都是距它等距離兩項的等差中項．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是對規(guī)律的理解與與記憶，是中檔題．