Question

已知函數(shù)g（x）=log_a（1-x），h（x）=log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）設(shè)f（x）=g（x）+h（x），若函數(shù)f（x）的最小值是-2，求a的值；
（2）設(shè)F（x）=g（x）-h（x），用定義證明函數(shù)F（x）在定義域上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域為（-3，1），f（x）=g（x）+h（x）=log_a（-x²-2x+3），當(dāng)x∈（-3，1）時，-x²-2x+3∈（0，4]，故函數(shù)f（x）的最小值是-2，則log_a4=-2，進而可得a的值；
（2）由已知可得函數(shù)F（x）的定義域為（-3，1），F(xiàn)（x）=g（x）-h（x）=log_a

1-x

x+3

，利用導(dǎo)數(shù)法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)F（x）在定義域上為增函數(shù)．

解答： 解：（1）由

1-x＞0 3+x＞0

可得：x∈（-3，1），
故函數(shù)f（x）的定義域為（-3，1），
∴f（x）=g（x）+h（x）
=log_a（1-x）+log_a（x+3）
=log_a[（1-x）（x+3）]
=log_a（-x²-2x+3），
當(dāng)x∈（-3，1）時，-x²-2x+3∈（0，4]，
故函數(shù)f（x）的最小值是-2，
又∵0＜a＜1，
則log_a4=-2，
解得a=

1

2

（2）F（x）=g（x）-h（x）=log_a（1-x）-log_a（x+3）=log_a

1-x

x+3

，
由

1-x＞0 3+x＞0

可得：x∈（-3，1），
故函數(shù)F（x）的定義域為（-3，1），
令u（x）=

1-x

x+3

，則u′（x）=

-x-3-1+x

(x+3)2

=

-4

(x+3)2

，
由u′（x）＜0在x∈（-3，1）時恒成立，
故u（x）在（-3，1）上為減函數(shù)，
任取x₁，x₂∈（-3，1）且x₁＜x₂．
則u（x₁）＞u（x₂），
又∵0＜a＜1，
則log_a（x₁）＜log_a（x₂），
即F（x₁）＜F（x₂），
則F（x）=log_a

1-x

x+3

在（-3，1）上為增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性證明，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)的運算性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．