Question

12．已知點P的軌跡方程為（x+1）²+（y-2）²=1，直線l與點P的軌跡相切，且l在x軸． y軸上的截距相等，
（1）若截距均為0，是否存在這樣的直線，若存在，求直線l的方程．
（2）若截距不為0，是否存在這樣的直線，若存在，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設P點坐標為（x，y），N點坐標為（x₀，y₀），則由中點坐標公式有$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{-2+{x_0}}}{2}}\\{y=\frac{{4+{y_0}}}{2}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-4}\end{array}}\right.$，用未知點表示已知點，代入已知關系式中得到結論．
（2）因直線l在x軸、y軸上截距相等，故l的斜率存在且不為0，當直線l在x軸、y軸截距都為0時，設直線l的方程為：y=kx，并結合線圓相切得到斜率k的值，進而得到結論．

解答 解：（1）設P點坐標為（x，y），N點坐標為（x₀，y₀），
則由中點坐標公式有$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{-2+{x_0}}}{2}}\\{y=\frac{{4+{y_0}}}{2}}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-4}\end{array}}\right.$
∵N點在圓x²+y²=4上，
$\begin{array}{l}∴{x_0}^2+{y_0}^2=4\\∴{（2x+2）^2}+{（2y-4）^2}=4\\∴{（x+1）^2}+{（y-2）^2}=1\end{array}$
即為點P的軌跡方程…6分
（2）因直線l在x軸、y軸上截距相等，故l的斜率存在且不為0，
當直線l在x軸、y軸截距都為0時，設直線l的方程為：y=kx，即kx-y=0
∵直線l與（x+1）²+（y-2）²=1相切，∴$\frac{\left|-\right.k-\left.2\right|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1⇒k=-\frac{3}{4}$…9分
當l在x軸、y軸上的截距均不為0時，設直線l的方程為$：\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0
∵直線l與（x+1）²+（y-2）²=1相切，∴$\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=1⇒a=1±\sqrt{2}$，
故直線l的方程為$x+y-1-\sqrt{2}=0$或$x+y-1+\sqrt{2}=0$
綜上可知l的方程為：$y=-\frac{3}{4}x$
或$x+y-1-\sqrt{2}=0$或$x+y-1+\sqrt{2}=0$…12分

點評 本試題主要是考查了利用相關點法求解軌跡方程，以及利用直線與圓相切，確定參數的值，并利用直線在兩坐標軸上截距相等得到直線的方程．