Question

2．已知一個(gè)圓與x軸相切，圓心在直線x-2y=0上，又圓心為整點(diǎn)（即橫縱坐標(biāo)為整數(shù)），且被直線x=2所截得的弦長為2．
（1）求此圓的方程．
（2）過點(diǎn)（3，3）作此圓的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)圓心為C（2a，a），可得圓的半徑r=|a|．再算出點(diǎn)C到直線x=2的距離，根據(jù)垂徑定理建立關(guān)于a的等式，解出a值即可得到所求圓的方程；
（2）由題意畫出圖形，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接寫出切線方程；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程的點(diǎn)斜式，化為一般式，由圓心到直線的距離等于半徑求出k，可得切線方程．

解答 解：（1）由圓心在直線x-2y=0上，設(shè)圓心為C（2a，a）
∵圓C與x軸相切，∴點(diǎn)C到x軸的距離等于半徑，可得r=|a|，
由此得到圓的方程為（x-2a）²+（y-a）²=a²，
點(diǎn)C到直線x=2的距離為d=|2a-2|，
∵圓C被直線x=2截得的弦長為2，
∴根據(jù)垂徑定理，得2$\sqrt{{a}^{2}-（2a-2）^{2}}=2$，解之得a=1或a=$\frac{5}{3}$（舍）．
由此可得圓心為C（2，1），半徑r=1，
因此，所求的圓的方程是（x-2）²+（y-1）²=1；
（2）如圖，當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3；
當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-3=k（x-3），即kx-y-3k+3=0．
由圓心C（2，1）到切線kx-y-3k+3=0的距離d=$\frac{|2k-1-3k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，∴切線方程為$\frac{3}{4}x-y-3×\frac{3}{4}+3=0$，即3x-4y+3=0．
綜上，所求切線方程為：3x-4y+3=0或x=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．