Question

1．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-2ax），a∈R．
（1）若f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立，求a的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立，令g（x）=$\frac{lnx-2}{x}$（0＜x＜1），通過求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）在（0，1）遞增，從而得到2a≥g（1）=-2，進(jìn)而求出a的最小值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=lnx-4ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令g（x）=lnx-4ax+1，通過求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最大值，進(jìn)而求出a的范圍．

解答 解：（1）∵0＜x＜1，
∴f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立
?x（lnx-2ax）≤2x（0＜x＜1）恒成立
?lnx-2ax≤2（0＜x＜1）恒成立
?2a≥$\frac{lnx-2}{x}$恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx-2}{x}$（0＜x＜1），
則g′（x）=$\frac{3-lnx}{{x}^{2}}$，（0＜x＜1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴2a≥g（1）=-2，
∴a≥-1，a的最小值為-1；
（2）f（x）=x（lnx-2ax）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=lnx-2ax+x（$\frac{1}{x}$-2a）=lnx-4ax+1，
∵函數(shù)f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=lnx-4ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a＞0時(shí)，令g（x）=lnx-4ax+1，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$，
由g′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{4a}$，由g′（x）＜0解得：x＞$\frac{1}{4a}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{4a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{4a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_最大值=g（$\frac{1}{4a}$）=-ln（4a）＞0，
∴0＜4a＜1，0＜a＜$\frac{1}{4}$，
∴a的范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道難題．