【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)(處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;

2)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】1;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

1)分別求出y=fx)與y=gx)在x=0處的導(dǎo)數(shù),利用斜率之積等于-1求得,得到fx)解析式,再由導(dǎo)數(shù)判斷fx)在區(qū)間[-11]上單調(diào)遞減,從而求得最大值;

2)函數(shù)R上單調(diào)遞增,僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn),且x1時(shí),gx)<0,再由導(dǎo)數(shù)分類(lèi)判定fx)的零點(diǎn)情況,則答案可求.

1)∵f′(x=-3x2+a,g′(x=ex

f′(0=a,g′(0=1,

由題意知,,fx)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,

;

2)函數(shù)gx=ex-eR上單調(diào)遞增,僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn),且x1時(shí),gx)<0,

f′x=-3x2+a

①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)≤0,fx)在R上單調(diào)遞減,且過(guò)點(diǎn)(0,-),f-1=0

fx)在x≤0時(shí),必有一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)y=hx)有兩個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)a0時(shí),令f′(x=-3x2+a=0,解得0,0

是函數(shù)fx)的一個(gè)極小值點(diǎn),是函數(shù)fx)的一個(gè)極大值點(diǎn).

f-=0,

現(xiàn)在討論極大值的情況:

f=

當(dāng)f)<0,即a時(shí),函數(shù)fx)在(0,+∞)上恒小于0,此時(shí)y=hx)有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)f=0,即a=時(shí),函數(shù)fx)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn),,此時(shí)y=hx)有三個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)f)>0,即a時(shí),函數(shù)fx)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)零點(diǎn)小于,一個(gè)零點(diǎn)大于

f1=a-0,即a時(shí),y=hx)有四個(gè)零點(diǎn);

f1=a=0,即a=時(shí),y=hx)有三個(gè)零點(diǎn);

f1=a-0,即a時(shí),y=hx)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)aa時(shí),y=hx)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=a=時(shí),y=hx)有三個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a時(shí),y=hx)有四個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知奇函數(shù)

1)求b的值,并求出函數(shù)的定義域

2)若存在區(qū)間,使得時(shí),的取值范圍為,求的取值范圍

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【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng),面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

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【題目】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行.

1)求實(shí)數(shù),的值;

2)若對(duì)任意的,函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,在直角梯形中,,平面外一點(diǎn)在平內(nèi)的射影恰在邊的中點(diǎn)上,

1)求證:平面平面;

2)若在線(xiàn)段上,且平面,求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】如圖所示的數(shù)表為森德拉姆篩(森德拉姆,東印度學(xué)者),其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列.在此表中,數(shù)字“121”出現(xiàn)的次數(shù)為___________.

2

3

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5

6

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……

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……

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……

……

……

……

……

……

……

……

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】過(guò)點(diǎn)P(3,﹣4)作圓(x1)2+y22的切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,則直線(xiàn)AB的方程為(  

A.x+2y20B.x2y10C.x2y20D.x+2y+20

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【題目】一商家誠(chéng)邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)國(guó)棋比賽,每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對(duì)局費(fèi),同時(shí)商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元,從兩名棋手以往比賽中得知,甲每局獲勝的概率為,乙每局獲勝的概率為,兩名棋手約定:最多下五局,先連勝兩局者獲勝,比賽結(jié)束,比賽結(jié)束后,商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎(jiǎng)金,若沒(méi)有決出獲勝者則各頒發(fā)2500.

1)求下完五局且甲獲勝的概率是多少;

2)求商家從這場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.

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【題目】伴隨著科技的迅速發(fā)展,國(guó)民對(duì)“5G”一詞越來(lái)越熟悉,“5G”全稱(chēng)是第五代移動(dòng)電話(huà)行動(dòng)通信標(biāo)準(zhǔn),也稱(chēng)第五代移動(dòng)通信技術(shù)。20171210日,工信部正式對(duì)外公布,已向中國(guó)電倌、中國(guó)移動(dòng)、中國(guó)聯(lián)通發(fā)放了5G系統(tǒng)中低頻率使用許可。2019218日上海虹橋火車(chē)站正式啟動(dòng)5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)。為了了解某市市民對(duì)“5G”的關(guān)注情況,通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查等方式研究市民對(duì)該市300萬(wàn)人口進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示:約60%的市民掌握一定5G知識(shí)(即問(wèn)卷調(diào)查分?jǐn)?shù)在80分以上)”將這部分市民稱(chēng)為“5G愛(ài)好者。某機(jī)構(gòu)在“5G愛(ài)好者中隨機(jī)抽取了年齡在15-45歲之間的100人按照年齡分布(如圖所示),其分組區(qū)間為:,,,,.

(1)求頻率直方圖中的a的值;

(2)估計(jì)全市居民中35歲以上的“5G愛(ài)好者”的人數(shù);

(3)若該市政府制定政策:按照年齡從小到大,選拔45%的“5G愛(ài)好者進(jìn)行5G的專(zhuān)業(yè)知識(shí)深度培養(yǎng),將當(dāng)選者稱(chēng)成按照上述政策及頻率分布直方圖,估計(jì)該市“5G達(dá)人”的年齡上限.

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