Question

【題目】如圖所示的“8”字形曲線(xiàn)是由兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的半圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)A、B是該圓與x軸的交點(diǎn)，雙曲線(xiàn)與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn)．

（1）試求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，試在“8”字形曲線(xiàn)上求點(diǎn)P，使得∠F1PF2是直角．

（3）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l分別交“8”字形曲線(xiàn)中上、下兩個(gè)半圓于點(diǎn)M、N，求|MN|的最大長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（），（）（3）最大長(zhǎng)度為8

【解析】

（1）求出半圓的圓心和半徑，求得圓與x軸的交點(diǎn)，即有a＝2，令y＝2，解得交點(diǎn)，代入雙曲線(xiàn)方程，解得b，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)的方程；

（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，∠F1PF2是直角，則設(shè)P（x，y），則由x2+y2＝8，聯(lián)立兩半圓的方程及雙曲線(xiàn)方程，解得交點(diǎn)，注意檢驗(yàn)，即可得到所求的P的坐標(biāo)．

（3）討論斜率是否存在，求出|MN|，即可得出結(jié)論．

（1）上半個(gè)圓所在圓方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，則圓心為（0，2），半徑為2．

則下半個(gè)圓所在圓的圓心為（0，﹣2），半徑為2．

雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)A、B是該圓與x軸的交點(diǎn)，即為（﹣2，0），（2，0），即a＝2，

由于雙曲線(xiàn)與半圓相交于與x軸平行的直徑的兩端點(diǎn)，則令y＝2，解得，x＝±2．

即有交點(diǎn)為（±2，2）．

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1（a＞0，b＞0），

則1，且a＝2，解得，b＝2．

則雙曲線(xiàn)的方程為1；

（2）雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，則設(shè)P（x，y），則有x2+y2＝8，

由解得，x2＝6，y2＝2．故P的坐標(biāo)為（），（）．

由解得，y＝-1，不滿(mǎn)足題意，舍去．

由解得，y＝1，不滿(mǎn)足題意，舍去．

故在“8”字形曲線(xiàn)上所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），（）．

（3）設(shè)M，N的橫坐標(biāo)分別為xM，xN．

①直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，|MN|＝8；

②直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y＝k（x+2）（或 ），

代入x2+y2﹣4y﹣4＝0，可得（k2+1）x2+（4k2﹣4k）x+4k2﹣8k﹣4＝0，

∴﹣2xM，

∴xM，

同理xN，

∴|MN||xM﹣xN|，

綜上：|MN|的最大長(zhǎng)度為8．