Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a（a＞0），若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 把f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，由導(dǎo)數(shù)分類求得函數(shù)g（x）在[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a（a＞0），f（x）≥lnx，得ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx≥0，
令g（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+1-2a-lnx，則g′（x）=$\frac{（x-1）[ax+（a-1）]}{{x}^{2}}$．
若-$\frac{a-1}{a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$，則g′（x）≥0，函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，又g（1）=0，
∴f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立；
若-$\frac{a-1}{a}$＞1，即a＜$\frac{1}{2}$，當(dāng)x∈（-∞，1），（-$\frac{a-1}{a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，$\frac{a-1}{a}$）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（-$\frac{a-1}{a}$）．
∵g（1）=0，∴g（-$\frac{a-1}{a}$）＜0，不合題意；
若-$\frac{a-1}{a}$＞1，即a＞$\frac{1}{2}$，當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{a-1}{a}$），（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-$\frac{a-1}{a}$，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
∴g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）．
∵g（1）=0，∴f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
綜上，a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．