Question

已知f（x）+2f（

1

x

）=2x-1對(duì)于任意x∈R且x≠0都成立，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，在所給的等式中，等號(hào)兩邊同時(shí)以

1

x

代x，得到一個(gè)等式f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

-1，然后，聯(lián)立方程組，把f（x）當(dāng)做未知數(shù)，求解即可．

解答： 解：∵f（x）+2f（

1

x

）=2x-1，①
等號(hào)兩邊同時(shí)以

1

x

代x，
得：f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

-1，②
聯(lián)立①②，
由①-2×②，解得
f（x）=

2

3

x-

4

3x

+

1

3

，
∴函數(shù)f（x）的解析式：
f（x）=

2

3

x-

4

3x

+

1

3

（x≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)解析式的求解方法，構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題．