Question

一個袋子中裝有大小形狀完全相同的編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球與編號為1，2，3，4的4個白球，從中任意取出3個球．
（Ⅰ）從袋中任意取出3個球，求取出的3個球的編號為連續(xù)的自然數(shù)的概率；
（Ⅱ）記X為取出的3個球中編號的最大值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)A表示“取出的3個球的編號為連續(xù)的自然數(shù)”，取出3球的方法有84種，連續(xù)自然數(shù)的方法：123和234均為

C

1 2

•C

1 2

•C

1 2

=8種，345為

C

1 2

•

C

1 2

•

C

1 1

=4種，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）X的取值為2，3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A表示“取出的3個球的編號為連續(xù)的自然數(shù)”，
取出3球的方法有

C

3 9

=84種，
連續(xù)自然數(shù)的方法：123和234均為

C

1 2

•C

1 2

•C

1 2

=8種，
345為

C

1 2

•

C

1 2

•

C

1 1

=4種，
∴P（A）=

8+8+4

84

=

5

21

．
（Ⅱ）X的取值為2，3，4，5．
P（X=2）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 9

=

1

21

，
P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 + C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

4

21

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 6 + C 2 2 C 1 6

C 3 9

=

3

7

，
P（X=5）=

C 1 1 C 2 8

C 3 9

=

1

3

．
X的分布列為

X	2	3	4	5
P	1 21	1 24	3 7	1 3

X的數(shù)學(xué)期望EX=2×

1

21

+3×

4

21

+4×

3

7

+5×

1

3

=

85

21

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識的靈活運(yùn)用．