【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑,圓柱的表面積為;點在底面圓上,且直線與下底面所成的角的大小為,

(1)求點到平面的距離;

(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)確定是直線與下底面所成的角,如圖以為坐標原點,以、分別為軸,面上過點且與垂直的線為軸,建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量,利用距離公式,即可求點到平面的距離;
2)平面的一個法向量為,由(1)知平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角的大小.

解:(1)設(shè),因為底面半徑,圓柱的表面積為
所以,解得,
因為底面,所以在底面上的射影,
所以是直線與下底面所成的角,即,
在直角三角形中,,所以
是底面直徑,所以
為坐標原點,以分別為軸,面上過點且與垂直的線為軸,建立空間直角坐標系如圖所示:


于是,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
不妨令,則,
所以到平面的距離
所以點到平面的距離為;
2)平面的一個法向量為
由(1)知平面的一個法向量,
二面角的大小為,則,
由于二面角為銳角,所以二面角的大小為.

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