【題目】在直三棱柱中，，，為線段上一點(diǎn)，平面.

（1）求證：為中點(diǎn)；

（2）若與所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）連接交于，連接，則為中點(diǎn).，由平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可證，即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出坐標(biāo)，進(jìn)而有坐標(biāo)，

由與所成角為，利用向量夾角公式求出，求出坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)線面角公式，即可求解.

（1）證明：連接交于，連接

∵，∴為正方形，∴為中點(diǎn).

又平面，平面平面，

平面，∴，又為中點(diǎn)，

∴為中點(diǎn).

（2）如圖，以為原點(diǎn)，以，，為

，，的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

，，，.

∵與所成角為，

∴，

整理得或（舍去），

，∴，

∵為中點(diǎn)，∴，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，取，

得，，∴

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖， 中，，，分別為，邊的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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【題目】給出下列三個(gè)命題：(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；(2)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面不相交，則這兩個(gè)平面平行；(3)一個(gè)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行；其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

A. 0B. 1C. 2D. 3

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【題目】為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間()之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件，其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得：(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

(1)若一個(gè)零件的尺寸是，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件；

(2)工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前3組中抽出6個(gè)零件，標(biāo)上記號(hào)，并從這6個(gè)零件中再抽取2個(gè)，求再次抽取的2個(gè)零件中恰有1個(gè)尺寸不超過的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)圖書館舉行高中志愿者檢索圖書的比賽，從高一、高二兩個(gè)年級(jí)各抽取10名志愿者參賽。在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，他們檢索到的圖書冊(cè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，規(guī)定冊(cè)數(shù)不小于20的為優(yōu)秀.

(Ⅰ) 從兩個(gè)年級(jí)的參賽志愿者中各抽取兩人，求抽取的4人中至少一人優(yōu)秀的概率；

(Ⅱ) 從高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取兩人，3人中優(yōu)秀人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑，圓柱的表面積為；點(diǎn)在底面圓上，且直線與下底面所成的角的大小為，

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(2)求二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

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【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

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【題目】下列關(guān)于概率和統(tǒng)計(jì)的幾種說法：①10名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則，，的大小關(guān)系為；②樣本4，2，1，0，-2的標(biāo)準(zhǔn)差是2；③在面積為的內(nèi)任選一點(diǎn)，則隨機(jī)事件“的面積小于”的概率為；④從寫有0，1，2，…，9的十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的概率是.其中正確說法的序號(hào)有______.

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