Question

16．以下命題中：
①p∨q為真命題，則p與q均為真命題；
②${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$；
③（a+b+c）⁹展開式中a⁴b³c²的系數(shù)為1260；
④已知函數(shù)f（x）=-x-x³．x₁，x₂，x₃∈R．且x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0．則f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒為負(fù)；
⑤“a=1”是“直線l₁：ax+2y-1=0與直線l₂：x+（a+1）y+4=0“的充分條件．
其中是真命題的是②③④⑤（填序號）

Answer 1

分析 由復(fù)合命題的真假判定判斷①；直接求出定積分判斷②；把（a+b+c）⁹看成9個因式（a+b+c）的乘積形式，求出得到a⁴的方法數(shù)、得到b³ 的方法數(shù)、得到c²的方法數(shù)，把這些方法數(shù)相乘，即得含a⁴b³c²的項的系數(shù)判斷③；利用函數(shù)f（x）=-x-x³，單調(diào)性和奇偶性即可判斷④；利用兩直線平行的充要條件列式求出a值判斷⑤．

解答 解：對于①，p∨q為真命題，則p與q至少一個為真命題，故①是假命題；
對于②，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cosx）dx$=$（\frac{x}{2}-\frac{1}{2}sinx）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，故②是真命題；
對于③，把（a+b+c）⁹看成9個因式（a+b+c）的乘積形式，從這9個因式中，挑出4個因式得到a⁴，方法有${C}_{9}^{4}$種；
再從剩余的5個因式中挑出3個因式，得到b，方法有${C}_{5}^{3}$種；其余的2個因式得到c²，方法有1種，最后會得到含a⁴b³c²項．
根據(jù)分步計數(shù)原理，含a⁴b³c²的項的系數(shù)是${C}_{9}^{4}•{C}_{5}^{3}$=1260，即（a+b+c）⁹展開式中a⁴b³c²的系數(shù)為1260，故③是真命題；
對于④，函數(shù)f（-x）=x+x³=-f（x），∴函數(shù)為奇函數(shù)．且是減函數(shù)，
由x₁+x₂，＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，得x₁＞-x₂，x₂＞-x₃，x₃＞-x₁，
∴f（x₁）＜f（-x₂）=-f（x₂），f（x₂）＜f（-x₃）=-f（x₃），f（x₃）＜f（-x₁）=-f（x₁），
∴2[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）]＜0，即f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＜0．則f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值恒為負(fù)，故④是真命題；
對于⑤，由$\left\{\begin{array}{l}{a（a+1）-2=0}\\{4a+1≠0}\end{array}\right.$，解得a=1或a=-2，∴“a=1”是“直線l₁：ax+2y-1=0與直線l₂：x+（a+1）y+4=0”平行的充分條件，故⑤是真命題．
故答案為：②③④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了定積分的求法，訓(xùn)練了排列組合及二項式定理的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，是中檔題．