【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取得最大值時,在拋物線的對稱軸l上是否存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,

得: ,解得: ,

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.


(2)

解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

把點(diǎn)點(diǎn)B(3,0)代入y=kx+3中,

得:0=3k+3,解得:k=﹣1,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.

∵M(jìn)N∥y軸,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3).

∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

∴拋物線的對稱軸為x=2,

∴點(diǎn)(1,0)在拋物線的圖象上,

∴1<m<3.

∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣ +

∴當(dāng)m= 時,線段MN取最大值,最大值為


(3)

解:假設(shè)存在.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n).

當(dāng)m= 時,點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ),

∴PB= = ,PN= ,BN= =

△PBN為等腰三角形分三種情況:

①當(dāng)PB=PN時,即 = ,

解得:n= ,

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, );

②當(dāng)PB=BN時,即 = ,

解得:n=± ,

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣ )或(2, );

③當(dāng)PN=BN時,即 =

解得:n= ,

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, )或(2, ).

綜上可知:在拋物線的對稱軸l上存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形,點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, )、(2,﹣ )、(2, )、(2, )或(2, ).


【解析】(1)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo),由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n),結(jié)合(2)的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離是解答本題的根本,需要知道增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;同軸兩點(diǎn)求距離,大減小數(shù)就為之.與軸等距兩個點(diǎn),間距求法亦如此.平面任意兩個點(diǎn),橫縱標(biāo)差先求值.差方相加開平方,距離公式要牢記.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某超市從現(xiàn)有甲、乙兩種酸奶的日銷售量(單位:箱)的1200個數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)均在區(qū)間內(nèi))中,按照5%的比例進(jìn)行分層抽樣,統(tǒng)計結(jié)果按, , , , 分組,整理如下圖:

(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(圖乙)中的值;記所抽取樣本中甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量的方差分別為, ,試比較的大小(只需寫出結(jié)論);

(Ⅱ)從甲種酸奶日銷售量在區(qū)間的數(shù)據(jù)樣本中抽取3個,記在內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為,求的分布列;

(Ⅲ)估計1200個日銷售量數(shù)據(jù)中,數(shù)據(jù)在區(qū)間中的個數(shù).

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(2)證明:EHAC;

(3)求二面角B-AC-D的平面角的余弦值.

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【題目】隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高,綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng),市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡借車,初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20積分,當(dāng)積分為0時,借車卡將自動鎖定,限制借車,用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡,為了鼓勵市民租用公共自行車出行,同時督促市民盡快還車,方便更多的市民使用,公共自行車按每車每次的租用時間進(jìn)行扣分收費(fèi),具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下:

①租用時間不超過1小時,免費(fèi);

②租用時間為1小時以上且不超過2小時,扣1分;

③租用時間為2小時以上且不超過3小時,扣2分;

④租用時間超過3小時,按每小時扣2分收費(fèi)(不足1小時的部分按1小時計算).

甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時間都不會超過3小時,設(shè)甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5;租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4和0.3.

(1)求甲、乙兩人所扣積分相同的概率;

(2)設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖,在中, , 中點(diǎn), (不同于點(diǎn)),延長,將沿折起,得到三棱錐,如圖所示.

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Ⅱ)求證:

Ⅲ)若平面平面,試判斷直線與直線能否垂直?請說明理由.

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【題目】中央電視臺為了解該衛(wèi)視《朗讀者》節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各個城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示其中一個數(shù)字被污損,

(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.

(2)隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對朗讀以及經(jīng)典的閱讀學(xué)習(xí)積累的熱情,從中獲益匪淺,現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計了位觀眾的周均閱讀學(xué)習(xí)經(jīng)典知識的時間(單位:小時)與年齡(單位:歲),并制作了對照表(如下表所示):

年齡

周均學(xué)習(xí)成語知識時間(小時)

由表中數(shù)據(jù),試求線性回歸方程,并預(yù)測年齡為歲觀眾周均學(xué)習(xí)閱讀經(jīng)典知識的時間.

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【題目】已知點(diǎn),圓

)設(shè),求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.

)設(shè),直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為,求直線的方程.

)設(shè),直線過點(diǎn),求被圓截得的線段的最短長度,并求此時的方程.

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分組

頻數(shù)

頻率

10

0.25

25

2

0.05

合計

1

(1)求出表中及圖中的值;

(2)試估計他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.

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【題目】已知R,命題:對任意,不等式恒成立;命題:存在,使得成立.

(1)若為真命題,求的取值范圍;

(2)若為假, 為真,求的取值范圍;

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