Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sinωπx，且函數(shù)f（x）的圖象與y=-2的圖象的相鄰兩交點的橫坐標之差為2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標擴大π倍得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值為2，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m 的最小值，根據(jù)它的最小值為2，求得實數(shù)m的值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sinωπx，且函數(shù)f（x）的圖象與y=-2的圖象的相鄰兩交點的橫坐標之差為2，
可得T=$\frac{2π}{ωπ}$=2，∴ω=1，f（x）=2sinπx．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標擴大π倍得到函數(shù)g（x）=2sinx的圖象，
∵x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）-m∈[-$\sqrt{3}$-m，2-m]，
若函數(shù)y=g（x+$\frac{π}{3}$）-m=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-m 在[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值為2，
則-$\sqrt{3}$-m=2，∴m=-$\sqrt{3}$-2．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．