Question

8．2012年全國(guó)中學(xué)生機(jī)器人大賽選選拔賽中，機(jī)器人剛開始在原點(diǎn)位置，為了讓機(jī)器人完成某項(xiàng)任務(wù)，學(xué)生給機(jī)器人設(shè)置了以下指令：先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，然后向前進(jìn)1米，將該指令進(jìn)行一次稱為一次操作，試用向量解決以下問題．
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，經(jīng)過幾次操作才能回到原點(diǎn)？
（2）是否存在α，使機(jī)器人經(jīng)過10次操作，能首次回到原點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）如圖所示，當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，經(jīng)過1次操作到A₁點(diǎn)，經(jīng)過2次操作到A₂點(diǎn)，利用多邊形外角和定理及其向量多邊形法則即可得出．
（2）根據(jù)多邊形外角和定理α=$\frac{2π}{10}$．

解答 解：（1）如圖所示，
當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，經(jīng)過1次操作到A₁點(diǎn)，經(jīng)過2次操作到A₂點(diǎn)，
6α=2π（多邊形外角和定理）．
∴$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{A}_{5}{A}_{6}}$=$\overrightarrow{0}$，
因此當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，經(jīng)過6次操作才能回到原點(diǎn)．
（2）根據(jù)多邊形外角和定理α=$\frac{2π}{10}$=$\frac{π}{5}$．
∴存在α=$\frac{π}{5}$，使機(jī)器人經(jīng)過10次操作，能首次回到原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多邊形外角和定理、向量的多邊形法則，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．