Question

1．一道數(shù)學(xué)競賽題，甲、乙、丙單獨(dú)解出此題的概率分別為$\frac{1}{a}$、$\frac{1}$、$\frac{1}{c}$，其中a、b、c都是小于10的正整數(shù)，現(xiàn)甲、乙、丙同時(shí)獨(dú)立解答此題，若三人中恰有一人解出此題的概率為$\frac{7}{15}$，則甲、乙、丙三人都未解出此題的概率為$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 由條件利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得7abc=15[（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）]，不妨設(shè)5能整除c，求得c=5，再根據(jù)3能整除ab，不妨設(shè)3能整除b，分類討論求得b的值，可得a的值，從而求得 甲、乙、丙三人都未解出此題的概率為（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}$）（1-$\frac{1}{c}$）的值．

解答 解：由題意可得$\frac{1}{a}$（1-$\frac{1}$）（1-$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}$（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{c}$（1-$\frac{1}$）（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{7}{15}$，
即 $\frac{（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）}{abc}$=$\frac{7}{15}$，即 7abc=15[（b-1）（c-1）+（a-1）（c-1）+（a-1）（b-1）]，
故5能整除abc，不妨設(shè)5能整除c，由a、b、c都是小于10的正整數(shù)，可得c=5．
∴3[4（b-1）+4（a-1）+（a-1）（b-1）]=7ab，故3能整除ab，不妨設(shè)3能整除b，
則b=3，6，9．
若b=3，則a=2；若b=6，則3a+11=8a，a無整數(shù)解；若b=9，則3a+20=12a，a無整數(shù)解．
綜上可得，a=2，b=3，c=5，
∴甲、乙、丙三人都未解出此題的概率為（1-$\frac{1}{a}$）（1-$\frac{1}$）（1-$\frac{1}{c}$）=$\frac{（a-1）（b-1）（c-1）}{abc}$=$\frac{4}{15}$，
故答案為：$\frac{4}{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于中檔題．