Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上動點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OA上，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=6$，則線段OP在x軸上的投影的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量共線定理設(shè)設(shè)$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$，得λ=$\frac{6}{|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$，設(shè)A（x，y），P（m，n），得m=λx=$\frac{24}{3x+\frac{16}{x}}$，由此借助均值定理能求出線段OP在x軸上的投影的最大值．

解答 解：∵點(diǎn)P在線段OA的延長線上，
∴設(shè)$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$（λ＞1），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=6$，得λ|$\overrightarrow{OA}$|²=6，可得λ=$\frac{6}{|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$，
設(shè)A（x，y），P（m，n），
可得m=λx=$\frac{6}{{x}^{2}+{y}^{2}}$•x=$\frac{6}{{x}^{2}+（4-\frac{{x}^{2}}{4}）}•x$=$\frac{6x}{\frac{3}{4}{x}^{2}+4}$=$\frac{24}{3x+\frac{16}{x}}$，
研究點(diǎn)P橫坐標(biāo)m的最大值，根據(jù)A點(diǎn)在橢圓上，設(shè)x∈（0，4），
可得3x+$\frac{16}{x}$x≥2$\sqrt{3x•\frac{16}{x}}$=8$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)3x=$\frac{16}{x}$取等號，
∴m=$\frac{24}{3x+\frac{16}{x}}$≤$\frac{24}{8\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
由此可得：當(dāng)且僅當(dāng)3x=$\frac{16}{x}$，即A點(diǎn)橫坐標(biāo)x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題已知橢圓上的動點(diǎn)滿足的條件，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、基本不等式與橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．