Question

10．某居民小區(qū)有A，B，C三個(gè)相互獨(dú)立的消防通道，通道A，B，C在任意時(shí)刻暢通的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{9}{10}，\frac{5}{6}$．
（Ⅰ） 求在任意時(shí)刻至少有兩個(gè)消防通道暢通的概率；
（Ⅱ） 在對(duì)消防通道A的三次相互獨(dú)立的檢查中，記暢通的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得，至少有兩個(gè)消防通道暢通的概率$P（D）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）+P（ABC）$；
（Ⅱ）ξ的所有可能為0，1，2，3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求P（ξ=k），進(jìn)而可求ξ的分布列及 數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知通道A，B，C暢通的概率分別為$P（A）=\frac{4}{5}，P（B）=\frac{9}{10}，P（C）=\frac{5}{6}$，
設(shè)“至少有兩個(gè)消防通道暢通”為事件D，
∴$P（D）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）+P（ABC）$…（4分）
=$\frac{4}{5}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}+\frac{4}{5}×\frac{1}{10}×\frac{5}{6}+\frac{1}{5}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}+\frac{4}{5}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}$=$\frac{281}{300}$． …（6分）
（Ⅱ）∵ξ的所有可能為0，1，2，3，
∴$P（ξ=0）={C_3}^0{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}$，
$P（ξ=1）={C_3}^1\frac{4}{5}×{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}$，
$P（ξ=2）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}×\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$，
$P（ξ=3）={C_3}^3{（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$．   …（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

數(shù)學(xué)期望$Eξ=0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}=\frac{12}{5}$．  …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求解，求解的關(guān)鍵是熟悉概率模型，準(zhǔn)確求解相應(yīng)的概率．