Question

9．已知A，B是圓O：x²+y²=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|$\overrightarrow{AB}$|=2，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，若M是線段AB的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$的值為（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 由A，B是圓O：x²+y²=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|$\overrightarrow{AB}$|=2，得到$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$，再根據(jù)向量的幾何意義和向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：A，B是圓O：x²+y²=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos$\frac{π}{3}$=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{6}$（5|$\overrightarrow{OA}$|²+3•$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-2|$\overrightarrow{OB}$|²）=$\frac{1}{6}$（20+6-8）=3，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)以及向量的幾何意義和向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．