Question

如圖的正方形ABCD邊長為1，P，Q為線段BC，CD上的動點，設(shè)∠PAB=θ，且tanθ=t，∠PAQ=45°．
（1）試用t表示線段PQ；
（2）探究△QAP的周長是否為定值；
（3）試求四邊形APCQ面積的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知條件，結(jié)合直角三角形，直接用t表示出PQ的長度，
（2）設(shè)△QAP的周長為l，l=CP+CQ+PQ，然后推出△CPQ的周長l為定值，
（3）設(shè)四邊形APCQ面積為S，S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，利用基本不等式求出最值．

解答： 解：（1）∵∠PAB=θ，且tanθ=t，∠PAQ=45°，正方形ABCD邊長為1
∴BP=t，0≤t≤1，∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=

1-t

1+t

，
∴CQ=1-

1-t

1+t

=

2t

1+t

，
∴PQ=

CP2+CQ2

=

(1-t)2+( 2t 1+t )2

=

1+t2

1+t

．
（2）設(shè)△QAP的周長為l，
l=CP+CQ+PQ
=1-t+

2t

1+t

+

1+t2

1+t

=1-t+1+t=2．
∴△QAP的周長為定值．
（3）設(shè)四邊形APCQ面積為S，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1-

t

2

-

1

2

•

1-t

1+t

=2-

1

2

（t+1+

2

t+1

）
≤2-

2

．
當(dāng)t=

2

-1時取等號，
故四邊形APCQ面積的最大值為2-

2

．

點評：本題考查三角形的實際應(yīng)用，函數(shù)值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．