Question

5．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，首項(xiàng)a₁=3¹²，公比q≠1．S₂，2S₃，3S₄成等差數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=|log₃a_n|，問從第幾項(xiàng)開始數(shù)列{b_n}中的連續(xù)20項(xiàng)之和等于102．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程關(guān)系求出公比即可求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出b_n=|13-n|，記數(shù)列{b_n}從第k項(xiàng)開始的連續(xù)20項(xiàng)和為T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵首項(xiàng)a₁=3¹²，公比q≠1．S₂，2S₃，3S₄成等差數(shù)列；
∴S₂+3S₄=2S₃，
即$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$$+\frac{3{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
整理得q²（3q²-4q+1）=0，
解得q=$\frac{1}{3}$，
故a_n=3¹²•（$\frac{1}{3}$）^n-1=3^13-n，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^13-n；
（2）b_n=|log₃a_n|=|log₃3^13-n|=|13-n|，
記數(shù)列{b_n}從第k項(xiàng)開始的連續(xù)20項(xiàng)和
為T_k=b_k+b_k+1+…+b_k+19，
若k≥13，則T_k≥0+1+2+…+19=190＞102，
∴k＜13，
∴T_k=b_k+b_k+1+…+b₁₂+b₁₃+b₁₄+…+b_k+19，
∴T_k=（13-k）+（12-k）+…+1+0+1+…+（k+6）
$\frac{1}{2}[（13-k）+1]（13-k）$$+\frac{1}{2}[1+（k+6）]（k+6）$=k²-7k+112，
∴由k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．
∴從第2項(xiàng)或第5項(xiàng)開始數(shù)列{b_n}中的連續(xù)20項(xiàng)之和等于102．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)求出通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．