Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（0，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{C}{2}$），其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角，且A、B、C滿足2B=A+C，求|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 運用向量加法的坐標(biāo)運算求出$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，代入模的公式后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡，最后根據(jù)角的范圍確定模的范圍．

解答 解：由已知，$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（cosA，-1+2cos²$\frac{C}{2}$）=（cosA，cosC），
2B=A+C，A+B+C=180°，
所以A+C=120°，
所以|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|²=cos²A+cos²C=1+$\frac{1}{2}$（cos2A+cos2C）=1+cos（A+C）cos（A-C）=1-$\frac{1}{2}$cos（2A-$\frac{2π}{3}$）=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），
∵$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{3}{4}$≤1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了等差中項概念，解答過程中訓(xùn)練了三角函數(shù)的恒等變換，解答此題的關(guān)鍵是注意角的范圍，此題是中檔題