Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{2a-1}）x+3a-4，x≤t\\{x^3}-x，x＞t\end{array}$，無(wú)論t為何值，函數(shù)f（x）在R上總是不單調(diào)，則a的取值范圍是（　　）

• A． a≤$\frac{1}{2}$
• B． a≥2
• C． $\frac{1}{2}$≤a＜1
• D． a＞$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先分析f（x）=x³-x，其單調(diào)區(qū)間．然后根據(jù)無(wú)論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）總是不單調(diào)，判斷f（x）=（2a-1）x+3a-4的單調(diào)性，求出a的取值范圍即可．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=x³-x，
f'（x）=3x²-1  x＞t
當(dāng)3x²-1＞0時(shí)，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
此時(shí)f（x）=x³-x，為增函數(shù)
當(dāng)3x²-1＜0時(shí)，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵x＞t，
∴f（x）=x³-x，一定存在單調(diào)遞增區(qū)間，
要使無(wú)論t取何值，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）總是不單調(diào)，
∴f（x）=（2a-1）x+3a-4不能為增函數(shù)，
∴2a-1≤0，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用，三次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．