Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0計(jì)算f（0），再令y=-x得出f（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，故而得出f（x）為增函數(shù)；
（3）又條件可知m²-2am＞0對a∈[-1，1]恒成立，列出不等式組解出a的范圍．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令y=-x，則f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，∴f（x）≤f（1）=1，
∵f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
∴m²-2am+1＞1，?a∈[-1，1]恒成立；
即m²-2am＞0，?a∈[-1，1]恒成立，
令  g（a）=-2ma+m²，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m+{m}^{2}＞0}\\{-2m+{m}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：m＞2或m＜-2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷，函數(shù)最值與函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．