Question

16．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，求此函數(shù)的不動點；
（2）若二次函數(shù)f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有兩個不同的不動點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由定義可得f（x）=x，解方程即可得到所求不動點；
（2）由題意可得ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個不等的實根，討論a＞0或a＜0和判別式大于0，對稱軸介于x=1的右邊，x=1的函數(shù)值大于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，
由f（x）=x，即x+$\frac{4}{x}$-5=0，
即為x²-5x+4=0，解得x=1和4，
則此函數(shù)的不動點為1，4；
（2）二次函數(shù)f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有兩個不同的不動點，
即為ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個不等的實根，
當(dāng)a＞0時，△=4-12a＞0，且a-2+3＞0，$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{3}$；
當(dāng)a＜0，由于對稱軸x=$\frac{1}{a}$＜0，在x∈（1，+∞）上沒有兩個不等的實根，不成立．
綜上可得，0＜a＜$\frac{1}{3}$．
則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查新定義：“不動點”的理解和應(yīng)用，考查二次方程的根的分布情況，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．