Question

11．如圖，PA⊥平面ABC，PA=$\sqrt{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，D是PC的中點．
（1）求二面角B-PA-C的大�。�
（2）求直線BD與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BA⊥PA，CA⊥PA，從而∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，由此能求出二面角B-PA-C的大�。�
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，連接AE，直線BD與平面ABC所成的角為∠DBE，由此能求出直線BD與平面ABC所成角的正切值．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．
在△ABC中，∵$AB=1，BC=\sqrt{3}，AC=2$，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC，
∴△ABC為直角三角形，
sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠BAC=60°，
故二面角B-PA-C的大小為60°…（5分）
（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，連接AE，
從而結(jié)合題意知DE⊥平面ABC，
∴直線BD與平面ABC所成的角為∠DBE，且$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}$．
又D是PC的中點，∴$DE=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$BE=\frac{1}{2}AC=1$，
∴$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴直線BD與平面ABC所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查三面角的大小的求法，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．