Question

6．已知函數(shù)$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+a$的圖象過點$（\frac{π}{6}，1）$．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a$，由周期公式可得周期，由圖象過點$（\frac{π}{6}，1）$可得a值；
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$和解析式結(jié)合三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+a$
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}sin2x}}{2}+a$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a$．
∵函數(shù)f（x）的圖象過點$（\frac{π}{6}，1）$，
∴$f（\frac{π}{6}）=sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a=1$．解得$a=-\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$即$x=\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題．